Analytische und konstruktive Differentialgeometrie by Erwin Kruppa

By Erwin Kruppa

Das vorliegende Lehrbuch "Analytische und konstmktive Differentialgeometrie" gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil "Analytische Differentialgeometrie" ist eine EinfUhrung in die analytische, allgemeine Theorie der Raumkurven und FHi.chen, der Strahlflachen, Strahlkongruenzen und Strahlkomplexe im euklidi schen Raum. Er soll eine ausreichende Grundlage fUr ein tieferes Eindringen in die Differentialgeometrie liefern. Diese Zweckbestimmung laBt naturgemaB dem Verfasser nur wenig freien Spielraum. Doch wurden manche Einzelheiten neu gestaltet. Insbesondere wurde die Theorie der Strahlflachen in einer von mir in einigen Arbeiten entwickelten Methode dargestellt, die die Theorie der Raum kurven als Sonderfall der Theorie der Strahlflachen erscheinen laBt. 1m zweiten Teil "Konstruktive Differentialgeometrie" wird in der Differential geometrie die seit den Uranfangen der Geometrie getibte Methode angewendet, die das im Geiste moglichst klaF gedachte, wenn moglich graphisch versinnlichte geometrische Objekt mittels Synthese und Rechnung erforscht. In ihrer Frtih zeit struggle die Differentialgeometrie stark anschaulich-konstruktiv ausgerichtet. Diese Richtung muBte aber in den Hintergrund treten, je mehr die moderne Ent wicklung in abstrakte Gebiete fUhrte, die sich nur wenig oder gar nicht anschau li.ch erfassen lassen. Sie kam auch unverdient in MiBkredit, als miBbrauchlich in ihrem Namen viel Unfug mit "unendlich klein en GroBen" getrieben wurde. Es liegt in der Natur der Sache, daB in der Differentialgeometrie die anschaulich konstruktive Methode nur auf einer analytischen Grundlage angewendet werden kann, da ihre Begriffsbi1dungen auf Voraussetzungen tiber Differenzierbarkeit beruhen. Die auf diesem Wege zu gewinnenden Ergebnisse sind daher bloB Er ganzungen zur analytischen Theorie.

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Lectures on Duflo Isomorphisms in Lie Algebra and Complex Geometry

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B. schneiden sich die Parameterflachen v = Vo und w = Wo in der u-Linie ;t; = 1;(U, va' wo)' Durch jeden Raumpunkt des betrachteten Raumgebietes geht eine U-, eine v- und eine w-Linie. Oft verwendete krummlinige Koordinaten sind die riiumlichen Polarkoordinaten r, il, 'If', fUr die x = r sin 'If' cos il, y = r sin 'If' sin il, z = r cos 'If' gilt. Die Parameterflachen sind die Kugeln r = konst. urn den Nullpunkt, die Ebenen il = konst. , deren Spitze der Nullpunkt und deren Achse die z-Achse ist.

9) gegeben wurden. Die Gl. (31. 2) werden nach G. MAI)lARD! und D. CODAZZI benannt, die in den eingangs angefiihrten Arbeiten gleichwertige Gleichungen angegeben haben. Unter Zugrundelegung der Integrierbarkeitsbedingungen von GAUSS (§ 37), MAINARDI und CODAZZI ist es O. BONNETl gelungen, das folgende nach ihm benannte Theorem zu beweisen: Abgesehen von der besonderen Lage im Raum ist eine Plache durch ihre beiden Differentialformen bestimmt, falls die Integrierba1'keitsbedingungen von GaufJ, Mainardi und Codazzi erfullt sind.

3) laBt sich in Worten so ausdrucken (Satz von Meusnier, Abb. 5): 7l Erriehtet man im Krummungsmittelpunkt Abb. 5 Ks des Punktes P einer Flachenkurve die Normale n l aUf seine Schmiegebene a, so schneidet n l die Flachennormale n von P im Krummungsmittelpunkt K des die Kurve in P beruhrenden Normalschnittes. Aus Gl. (r) und § 25 Gl. (6) folgt, daB fur Flachenkurven, die in Peine der beiden Schmiegtangenten beruhren, e = 00 ist. Ihre Krummungskreise in P arten daher in diese Schmiegtangente aus.

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